LESSON 2.2 · UNIT Ⅱ-2
2.2

단항식 × 다항식

Distributing Monomials Over Polynomials — The Art of Expansion

분배법칙으로 각 항에 단항식을 곱한다. 모든 항을 빠짐없이 — 전개의 핵심.

HOOK · 시작 질문

사각형 두 개의 넓이를 한 번에?

A rectangle split in two — area equals the sum of parts.

A LITTLE VISUAL
가로 $2x$, 세로 $3x + 4$인 직사각형의 넓이는?
3x 4 2x $6x^2$ $8x$ 전체 가로 = 3x + 4

사각형을 두 부분으로 나누어 봤습니다. 왼쪽 사각형의 넓이는 $2x \times 3x = 6x^2$, 오른쪽 사각형의 넓이는 $2x \times 4 = 8x$. 두 넓이의 합이 전체 넓이입니다.

즉, $2x \times (3x + 4) = 2x \times 3x + 2x \times 4 = 6x^2 + 8x$. 단항식을 다항식에 곱하는 것은 각 항에 분배하는 것 — 이것이 분배법칙입니다.

이 차시에서 우리는 단항식과 다항식의 곱을 분배법칙으로 전개하는 법을 배웁니다. 핵심은 하나 — 단항식이 다항식 안의 모든 항에 빠짐없이 곱해진다는 것. 빠뜨리면 안 됩니다!

CORE · 분배법칙

분배법칙 — 전개의 황금률

One rule that handles every monomial × polynomial multiplication.

DISTRIBUTIVE LAW
전개의 일반 공식
$\textbf{단항식} \times (\textbf{항}_1 + \textbf{항}_2 + \textbf{항}_3) = $

$\textbf{단항식} \cdot \textbf{항}_1 + \textbf{단항식} \cdot \textbf{항}_2 + \textbf{단항식} \cdot \textbf{항}_3$

단항식을 괄호 안 각 항에 하나씩 곱한 뒤 결과를 더한다. 부호도 그대로 따라온다.

DISTRIBUTE FROM LEFT
$a(b+c) = ab + ac$
DISTRIBUTE FROM RIGHT
$(b+c)a = ab + ac$
시연 ① · $2x(3x + 4)$
$2x(3x + 4)$
단항식
$2x$
→ 분배 →
두 항에 각각
$3x,\ 4$
STEP 1. $2x \times 3x = 6x^2$ (첫째 항).
STEP 2. $2x \times 4 = 8x$ (둘째 항).
STEP 3. 더한다: $6x^2 + 8x$.
▶ $2x(3x + 4) = 6x^2 + 8x$
시연 ② · 음수 단항식 $-3a(a^2 - 2a + 5)$
$-3a(a^2 - 2a + 5)$
STEP 1. $-3a \times a^2 = -3a^3$.
STEP 2. $-3a \times (-2a) = +6a^2$ (음수 × 음수 = 양수).
STEP 3. $-3a \times 5 = -15a$.
▶ $-3a(a^2 - 2a + 5) = -3a^3 + 6a^2 - 15a$
⚠️ COMMON TRAP
음수 단항식 × 음수 항 — 부호 반전에 주의!
✗ 흔한 실수
$-3a(a^2 - 2a + 5)$
$= -3a^3 - 6a^2 - 15a$ ← 둘째 항 부호 X
✓ 올바른 풀이
$-3a(a^2 - 2a + 5)$
$= -3a^3 \mathbf{+ 6a^2} - 15a$ ← 음·음 → 양

팁: 각 항에 곱한 뒤 부호 규칙을 차근차근 적용하세요. $(-)(-) = +$, $(-)(+) = -$.

INTERACTIVE · 전개기

전개 분석기

Click each expression to see how the distributive law unfolds.

EXPANSION ANALYZER
분배법칙으로 전개
아래 식들을 클릭하면 항별 분배 단계가 나타납니다.
QUICK CHECK · 빠른 확인

바로 확인하기

5 quick warm-ups.

QC-01 · 기본
$3x(x + 2) = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$3x \cdot x + 3x \cdot 2 = \mathbf{3x^2 + 6x}$.
QC-02 · 음수
$-a(2a - 5) = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$-a \cdot 2a + (-a)(-5) = \mathbf{-2a^2 + 5a}$.
QC-03 · 3개 항
$2(x^2 - 3x + 1) = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
모든 항에 $2$를 곱: $\mathbf{2x^2 - 6x + 2}$.
QC-04 · 오른쪽 분배
$(a + 2b) \cdot 3a = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$a \cdot 3a + 2b \cdot 3a = \mathbf{3a^2 + 6ab}$.
QC-05 · 두 항 결합
$x(x + 1) - x(x - 2) = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$x^2 + x - x^2 + 2x = \mathbf{3x}$.
WORKED EXAMPLES · 예제

함께 풀어보기

Two examples combining expansion with subtraction.

EXAMPLE 01
두 단항식의 분배 결합
다음 식을 간단히 하시오: $\quad -2(x + 3) + 3(x - 1)$
1
첫째 분배: $-2 \cdot x + (-2) \cdot 3 = -2x - 6$.
2
둘째 분배: $3 \cdot x + 3 \cdot (-1) = 3x - 3$.
3
식: $-2x - 6 + 3x - 3$.
4
동류항 정리: $(-2+3)x + (-6-3) = x - 9$.
▶ 답: $x - 9$
EXAMPLE 02
두 문자가 섞인 식
다음 식을 간단히 하시오: $\quad a(2a + b) - b(a - 3b)$
1
첫째 분배: $a \cdot 2a + a \cdot b = 2a^2 + ab$.
2
둘째 분배: $-b \cdot a + (-b)(-3b) = -ab + 3b^2$.
3
식: $2a^2 + ab - ab + 3b^2$.
4
동류항: $ab - ab = 0$. 남은 것은 $2a^2 + 3b^2$.
▶ 답: $2a^2 + 3b^2$
PRACTICE · 연습 문제

스스로 풀어보기

8 problems graded by difficulty.

P-01
★ 기본 전개
$3x(2x + 5)$를 전개하시오. (답 형식: 6x^2+15x)
SOLUTION

$3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 = 6x^2 + 15x$.

P-02
★ 음수
$-2a(a + 4)$를 전개하시오. (답 형식: -2a^2-8a)
SOLUTION

$-2a \cdot a + (-2a) \cdot 4 = -2a^2 - 8a$.

P-03
★ 세 항
$5(x^2 + 3x - 2)$를 전개하시오. (답 형식: 5x^2+15x-10)
SOLUTION

각 항에 $5$를 곱: $5x^2 + 15x - 10$.

P-04
★★ 음수 단항식 · 3항
$-3a(2a^2 - a + 5)$를 전개하시오. (답 형식: -6a^3+3a^2-15a)
SOLUTION

$-3a \cdot 2a^2 = -6a^3$. $-3a \cdot (-a) = +3a^2$. $-3a \cdot 5 = -15a$.

합치면 $\mathbf{-6a^3 + 3a^2 - 15a}$.

P-05
★★ 오른쪽 분배
$(2x + 3y) \cdot 4x$를 전개하시오. (답 형식: 8x^2+12xy)
SOLUTION

$2x \cdot 4x + 3y \cdot 4x = 8x^2 + 12xy$.

P-06
★★ 두 식 결합
$2x(x - 3) - 3x(x + 1)$을 간단히 하시오. (답 형식: -x^2-9x)
SOLUTION

분배: $2x^2 - 6x - 3x^2 - 3x$.

$x^2$: $2 - 3 = -1$. $x$: $-6 - 3 = -9$. ▶ $\mathbf{-x^2 - 9x}$.

P-07
★★★ 두 문자 결합
$a(2a + b) - b(a - 3b)$를 간단히 하시오. (답 형식: 2a^2+3b^2)
SOLUTION

$a(2a+b) = 2a^2 + ab$. $-b(a-3b) = -ab + 3b^2$.

합치면 $2a^2 + ab - ab + 3b^2 = \mathbf{2a^2 + 3b^2}$. ($ab$는 상쇄.)

P-08
★★★ 활용 · 직사각형 넓이
가로의 길이가 $3x + 2$이고 세로의 길이가 $x$인 직사각형의 넓이를 구하시오. (답 형식: 3x^2+2x)
SOLUTION

넓이 = 가로 × 세로 = $(3x + 2) \cdot x = 3x \cdot x + 2 \cdot x = 3x^2 + 2x$.

▶ $\mathbf{3x^2 + 2x}$.

LESSON 2.2 · WRAP-UP
한 줄로 정리하면

단항식과 다항식의 곱은 분배법칙 하나로 모두 풀립니다 — 단항식을 다항식의 모든 항에 빠짐없이 곱한 뒤 더한다. 음수 단항식의 경우 $(-)(-)=+$, $(-)(+)=-$ 부호 규칙을 차근차근 적용하세요. 여러 개의 곱이 더해진 식은 각각 전개한 뒤 동류항을 정리합니다 (2.1과 결합).